Examen Parcial de Programacion Lineal

1.- Demuestre algebraicamente que todas las soluciones básicas de la siguiente P.L son no factibles.

Maximizar Z = x1 + 3x2 

Sujeto a : 

   x1 + x2 <= 2 

- x1 + x2 <= 4

x1 , x2 >=  0

Solución

1°Igualamos las Variables y colocamos la Variable de Holgura:

Maximizar Z =  x1 + 3x2 + 0S1 + 0S2 

x1 + x2 + S1 = 2 

- x1 + x2  + S2 = 4

x1 , x2 >=  0

S1 , S2 >= 0

2°Colocamos los Valores en la tabla:

3°Colocamos los valores en el Programa Tora:

5°Observamos los Valores en la Gráfica;

6°Nos dan los siguientes Valores : 

2.- Considere el problema :

Minimizar Z = 4x1 - 8x2 + 3x3

Sujeto a :

x1 + x2 + x3 = 7                          (1) 

2x1 - 5x2 + x3 >= 10                      (2)       

x1 , x2 ,x3 >= 0

Solución

1°Igualamos las Variables :

z - 4x1 + 8x2 - 3x3 = 0

Sujeto a : 

   X1 + X2 + X3 = 7 

                                                                   

2X1 - 5X2 + X3 - S2 = 10

X1 ; X2 ; X3 >= 0

2° Colocamos los Valores en las Tablas:

             

3.- Considere el problema :

Maximizar  Z = 16x1 + 15x2

Sujeto a :

40x1 + 31x2 <= 124

- x1 + x2 <= 1

x1           <=3

       x1 , x2  > = 0  

Solución

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Ejercicios de Modelo de P.L en forma de una Ecuacion

Ejercicios de un Modelo de Programación Lineal en Forma de una Ecuación:

Demuestra algebraicamente que todas las soluciones básicas de la siguiente Programación Lineal son no factibles:

Maximizar Z = X1 + X2 

Sujeto a :

                    X1 + 2X2 <= 6                                        (1)

                    2X1 + X2 <= 16                                      (2)

                     X1;X2      >=0

Solución:

Utilizaremos los siguientes Pasos;

1ª Hallamos los valores de X1 ; X2 :

• X1  = 0               X2  =  3
• X2 = 0                X1  =  8

 

• X1  = 0                 X2  =  16
• X2 = 0                  X1  =  8

2ªLos reemplazamos en la Tabla:

3ªUbicamos los puntos en la Gráfica; Unimos los puntos mas cercanos 

4ªIngresamos los datos al Programa Tora;

5ªObseramos la Grafica :

6ªNos dan los siguientes valores:

• Z   = 6.00
• X1 = 6.00
• X2 = 0.00

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Método Simplex

Resumen del Método Simple:

En problemas  de Minimizacion , la CONDICIÓN ES OPTIMALIDAD   requiere seleccionar la VARIABLE DE ENTRADA como la VARIABLE NO BÁSICA con el coeficiente mas positivo en la ecuación objetiva, la regla exacta opuesta del caso de maximizacion. Esto obedece a que:

Max Z = min(-z)

En cuanto a la Condición de factibilidad para seleccionar la variable de salida . la regla no cambia.

Condición de Optimilidad:

La Variable de entrada en un problema la Maximizacion es la variable no Básica con el coeficiente mas negativo (positivo) en la Fila Z .

Condición de Factibilidad:

Tanto en Problemas  de Maximizacion como de Minimizacion, la variable de salida es la variable básica asociada con la relación mínima no negativa.  

Operaciones de Filas de GAUSS-JORDAN:

1.-Fila Pivote:

• Reemplace  la variable de salida en la columna básica por la variable de entrada.

• Nueva Fila Pivote. = Fila Pivote Actual / Elemento Pivote.

• Nueva Fila = ( Fila Actual ) - (Coeficiente en la columna pivote ) X (Nueva fila pivote} 
• Todas las Demas filas, incluida la Z

          Nueva Fila = ( Fila Actual ) - (Coeficiente en la columna pivote ) X (Nueva fila pivote} 

Los Pasos de Método Simplex son :

1. Determine la solución factible básica inicial 
2. Selecciona una variable de entrada Utilizando la condición de optimalidad. Deténgase si no hay Variable de Entrada; la ultima condición es Optima. De otro modo, prosiga con el siguiente paso.
3. Selecciona una variable de salida utilizando la condición de factibilidad .
4. Aplique en los cálculos de Gauss - Jordan para determinar la nueva solución básica.
5. Vaya al paso.

Ejemplos del Método Simplex:

1.-Considere la siguiente P.L:

Maximizar Z= 16x1 + 15x2

                   Sujeto a:

       

   40x1 + 31x2 <= 124

-x1 + x2       <= 1

   x1             <= 3

x1;x2           >= 0

Solución:

 1ª.-Igualamos:

Z = 16x1 + 15x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3

 Z - 16x1 - 15x2 - 0s1 - 0s2 - 0s3 = 0

40x1 + 31x2 + s1 = 124

-x1 + x2  + s2 = 1

x1  + s3 = 3

x1;x2 = 0

1ª Iteracion:

2ªIteracion:

3ªIteracion:

2ªIngresamos los datos en el Programa Tora:

3ªNos dan los siguientes Valores:

Z = 55.61

x2 =2.31

s3 = 1.69

x1 = 1.31

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Modelo de Programación Lineal de Forma de Ecuacion

Modelo de Programación Lineal de Forma de Ecuación:

El desarrollo de los cálculos con el método Simplex se facilita si se imponen dos requerimientos a las restricciones de Programación Lineal.

1.1 .- Todas las Restricciones son ecuaciones con lado derecho no negativo.

1.2.- Todas las Variables son  no negativas.

Conversión de las desigualdades en ecuaciones con lado derecho no negativo:

Para convertir una desigualdad (<=) en ecuación se agrega una VARIABLE DE HOLGURA al lado Izquierdo de la restricción.

Por Ejemplo:

La restricción M1 del modelo de Reddy Hiks, se convierte en ecuación como sigue:

6X1 + 4X2 + S1 = 24           ; SI : S1>= 0

Si la conversión de (>=) a (<=) se logra restando una VARIABLE DE SUPERVIT no negativo del lado izquierdo de la desigualdad .

Por Ejemplo;

En el Modelo de la dieta, la variable de exceso S1(>=0) convierte la restricción de la mezcla de alimentos (>=) en la ecuación.

X1 + X2 - S1 =800

El único requerimiento que falta  es que el lado derecho de la ecuación resultante sea no negativa. Si el lado derecho resulta negativo, el requerimiento se satisface multiplicando ambos lados  de la ecuación por (-1)


Ejemplo:

1.-Considere el siguiente P.L por dos variables

Maximizar Z = 2X1 + 3X2 

Sujeto a : 

                                          2X1 + X2 <= 4                                  (1)                  

                                           X1 + 2X2 <= 5                                  (2)

                                                                   X1 ; X2 >= 0    

Solución

Función de Z:

Maximizar Z = 2X1 + 3X2 

1ªIgualamos las Restricciones y le Agregamos la Variable de Holgura:

2X1 + X2 + S1 = 4

X1 + 2X2 + S2 =5

X1 ; X2 >= 0

S1 ; S2 >= 0

2ªColocamos los Valores en la Tabla;

3ªUbicamos los puntos en la Grafica;

4ªIngresamos los Datos al Programa Tora :

5ªObservamos la Grafica:

6ªNos dan los siguientes Valores:

•   Z  = 8.00
• X1 = 1.00
• X2 = 2.00

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Modelo de Producción de Múltiples Periodos

MODELO DE PRODUCCIÓN DE MÚLTIPLES PERIODOS:

La Compañía ACNÉ firmo un contrato para entregar 100,250,190,140,220 y 110 ventana para casa durante los 6 meses .El costo de Producción que incluye (mano de obra , material y servicio) por ventana varia por periodo  y se estima que sera de $50,$45,$55.$48.$52 y $50 durante los próximos 6 meses.

Para aprovechar las fluctuaciones del costo de fabricación ACNÉ puede producirse mas ventanas de las necesarias en un mes dado y conservar las unidades adicionales para entregarlas en meses posteriores.Esto supondrá un costo de almacenamiento a razón de $8 por ventana estimado en el inventario de fin de mes .Desarrollo un programador lineal para determinar el programa de programación Optima. 

 

Xi= Cantidades de Unidades
Ii=   Unidades Almacenes 
i =    1,2,3,4.5.6

Resolución

1ªLa Función:

Maximizar Z = 50X1 + 45X2 + 55X3 + 41X4 + 52X5 + 50X6 + 8 (I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 ) 

Sujeto a : 

                        X1 - I1  = 100                                                (1)

                        I1 + X2 - I3 = 250                                          (2)

                       I2 + X3 - I3 = 190                                          (3)

                      I3 + X4 - I4 =140                                            (4)

                      I4 + X5 + - I5 = 220                                        (5)

                     I5 + X6   = 110                                                 (6) 

                                               Xi + Ii >= 0 

2ªIngresamos las Variables y las Ecuaciones al Programa Tora:

3ªObservamos los Resultados de los Valores:

4ªComo Resultado nos dan las siguientes Valores:

• Z = 49.980

• X1 = 100.00
• X2 = 440.00
• X3 = 0.00
• X4 = 140.00
• X5 = 220.00
• X6 = 110.00
• I1  = 0.00
• I2  = 190.00
• I3  = 0.00
• I4  = 0.00
• I5  = 0.00
• I6  = 0.00

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Planificación de la Mano de Obra

Planificación de la Mano de Obra

Modelo de Horario de Autobuses:

La Ciudad de Pisco estudia la factibilidad de Utilizar un Sistema de Autobuses de transporte masivo para reducir el trafico Urbano. El estudio busca la cantidad  mínima de Autobuses que satisfaga la necesidad de transporte.

Después de reunir la información necesaria, el Ingeniero de transito observo que la cantidad mínima de Autobuses que se requería.  Fluctuaba según la hora del día, y dicha cantidad se podía representar de forma aproximada por valores constantes durante intervalos de cuatro horas ofrecidas.

En la figura resumen los hallazgos del Ingeniero .Para realizar el mantenimiento diario requerido cada Autobús puede operar solo 8 horas continuas al día. 

La Demanda de Autobuses:

Solución

1ªVariables:

X1  = Cantidad de Autobuses   12:01 - 4:00

X2 = Cantidad de Autobuses   4:01   -  8:00

X3 = Cantidad de Autobuses   8:01   -  12:00

X4 = Cantidad de Autobuses  12:01  -   4:00

X5 = Cantidad de Autobuses  4:01    -  8:00

X6 = Cantidad de Autobuses   8:01   -  12:00

2ªLa Función:

Minimizar Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

3ªRestricciones:

Sujeto a :

               X1  + X6 >= 4                                 (1)

               X1  + X2 >= 8                                  (2)

               X2 + X3 >= 10                                 (3)

               X3 + X4 >= 7                                   (4)

               X4 + X5 >= 12                                 (5) 

               X5 + X6 >= 4                                   (6) 

               X1  ;  X2 ; X3 ; X4 ; X5 ; X6 = 0

3ªIngresamos las Variables y las Ecuaciones al Programa Tora:

4ªObservamos los Resultados de las Soluciones:

5ªComo Resultado nos dan los siguientes Valores:

        

            Z = 26.00

          X1  = 4.00

          X2 = 10.00

          X3 = 0.00

          X4 = 8.00

          X5 = 4.00

          X6 = 0.00

     

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